单墫教授：数学是思维的科学
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作者 | 单墫
来源 | 数学通报 2001 年 第6 期
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数学是思维的科学。这句话，大概不会有什么反对的意见。谁都知道，数学能够启迪、培养、发展人的思维。虽然也有其他学科或其他方式可以培养人的思维，但在深度、广度、系统性等方面，是无法与数学相比的。
然而，在实际运作时，却有一些人忽视这一点，他们只看重数学是一门实用性的科学。提到式的恒等变形，他们会问：这有什么用?提到不等式的证明，他们更摇头表示怀疑：没有用的东西，学它干什么?
在这些人看来，小学的四则运算日常生活少不得，当然是有用的，要学。目前初中的内容约有二分之一还有些用处(其中几何证明都是绝对无用的)。高中内容，大部分是为了应试，都应当取消，只有一小部分可以保留。
这种观点，由来已久。早在60年代，即已出现轻理论、重实用，过分强调理论必须联系实际的思潮。在文化大革命中，更发展到顶峰。当时有的地方，中学数学课已经被取消掉，少得可怜的一点数学内容纳入一门叫做“工业基础知识”的课里面。
仅将数学当作实用科学就是不懂得培养思维能力正是数学的一大功用，即使只谈实用性，也决不可忽略思维能力的培养。
明朝的徐光启先生(1562—1633)，见解就很高明。他在万历三十五年(公元1607年)与利玛窦合译了欧几里得的《几何原本》。在译本卷首的《几何原本杂议》中，徐先生指出：“人具上资而意理疏莽，即上资无用；人具中材而心思缜密，即中材有用；能通几何之学，缜密甚矣，故率天下之人而归于实用者，是或其所由之道也。”
最近我见到一篇文章《数学与文学》，作者是一位在人文科学方面卓有成就的朱正先生(著有《鲁迅传略》(1956年)、《鲁迅回忆正谈》(1979年)、《小书生大时代》(1999年)、《辫子、小脚及其他》(1999年)等书)。朱先生对数学的作用认识非常深刻，他说：“我在学术研究方面所做的工作，凭仗的也就是当年数学‘体操’所训练出来的思维能力。我的一本《1957年的夏季：从百家争鸣到两家争鸣》，程干帆先生看了，许我为汉学家，说那本书深得段戴钱王之妙，却不知道其实是得益于数学的。”(朱正著《字纸篓》，120-121页，广东人民出版社，2000年出版)。
即使一个人“从事的几乎是同数学没有什么关系的职业，原来学的代数几何三角中的定理定律几乎全忘记了”(朱正先生语，同上120页)，然而数学对思维的训练还是有用的，这才是数学的最广泛的“实用性”，这才是我们要学数学的主要原因。
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我国古代曾有过四大发明，在数学方面也有很多成就，并出现了《九章算术》、《周髀算经》等重要著作，但后来我国的自然科学却停滞了，远远落后于西方。这当然有很多的原因(特别是政府的腐败)，但其中有一点是很重要的，即过于强调实用，而缺乏理性的思维。
希腊人比古代的中国、埃及、巴比伦前进了一大步，他们“具有重理知的特性，概括并简化各种科学原则，希望由此求出这些科学的道理”，“柏拉图坚持研究几何学，并不是为了几何学的实际用途，而是想发展思想的抽象力，并训练心智使之能正确而活泼地思考。柏拉图把思想的抽象力和正确的思考能力应用在伦理与政治上，结果奠定了西方社会哲学的基础；亚里士多德把它们应用在研究具体事物的真实性上，结果奠定了物质科学的基础。”
“自然科学之能发展到目前的阶段，首先归功于希腊人对大自然的观念以及对有系统的智力训练的爱好，中问经过文艺复兴、宗教革命、法国革命，后来又受到工业革命的大刺激。工业革命使工具的技术逐渐改进。西欧在自然科学的后期发展中，从未忽视科学的实际用途。不断的发现和发明更进一步刺激了科学研究。理论科学和应用科学齐头并进，而相辅相成。”
应当承认我国在理论思维方面不及希腊与西欧。数学方面，这样的例子很多。我们古代很早就知道了勾3股4弦5，但没有证明一般的勾股定理(即毕达哥拉斯定理)，也没有找出勾股数(满足 的整数组 的一般规律。这些都是由希腊人完成的。我国古代很早就知道 是奇质数 的倍数，但建立起费马小定理的却是法国人费马(Fermat，1601—1665)。
曾在北京大学任过十多年校长的蒋梦麟先生(1886—1964)，在他的名著《西潮》中早就说到这一点，他说：
“在中国，发明常止于直接的实际用途。我们不像希腊人那样在原理原则上探讨：也不像现代欧洲人那样设法从个别的发现中归纳出普遍的定律。现代欧洲人的这种习惯是从古希腊继承而来的，不过较诸希腊时代要进步而已。中国人一旦达到一件新的发明的实用目的，就会马上止步不前：因此中国科学的发展是孤立无援的，也没有科学思想作为导向明灯。科学发展在中国停滞不进，就因为我们太重实际”(《西潮》第七部：现代世界中的中国。本节的引文均出自该处，不一一列举)。
他又说：“我们中国人最感兴趣的是实用东西。......，如果有人拿东西给美国人看，他们多半会说：‘这很有趣呀！’；碰到同样情形时，中国人的反应却多半是：‘这有什么用处?’......，我们中国对一种东西的用途，比对这种东西的本身更感兴趣。”
时至今日，情况当然与蒋梦麟先生的时代有了很大的不同。但忽视理论、太重实际的倾向仍然值得注意。因此，在我们考虑中学数学教材、大纲或是课程标准时，不能仅考虑实用性，不能简单地罗列数学知识，而更应当考虑需要培养哪些思维品质，如何去进行思维的训练，充分发挥数学是思维的科学的特点。
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数学有众多的分支，在中小学阶段涉及到的有算术(理论)、代数、几何、三角、解析几何、函数论、组合数学、概率统计等等。各个分支在数学中都有一定的地位和作用，它们的思维方式各有特点，不尽相同，彼此之间并无高下之分，而是相辅相成，组成一个整体。不宜过分强调其中的某一个，而忽略其它，对各种思维方式在什么时候引入最为适宜也应当深入研究。这里对几个问题谈谈我们的想法。
3.1 算术与代数
在小学阶段(即九年义务教育的前五、六年)，用算术方法解应用题是我国数学教育的一个传统内容，解题方法多种多样，极富巧思，有利于培养学生的学习兴趣，发展学生的思维。例如“和差问题”：
“大、小二数的和是18，差是4，求大数与小数各是多少？”
算术的方法可以先将小数加上4，使小数变成与大数相等，从而大数=(18+4)÷2=11
也可以先将大数减去4，使大数变成与小数相等，从而小数=(18-4)÷2=7
甚至还可以先求平均数：18÷2=9 再加上(或减去)2(=4÷2)，便得大数(或小数)。
用代数的方法，通过设未知数、列方程(组)解应用题，方法统一简单，其优点是显然的，但能否就肯定代数方法高于算术方法，甚至取消算术解法而统统代之以代数方法呢？恐怕不能。就思维的品质来说，统一性与多样性，各有千秋，不相轩轾。统一、简单固然好，“百花齐放”也不坏，从教育的观点看来，理解统一方法的优点需要一定的基础，低年级尚难做到这一点，而算术解法多变，易培养他们的兴趣，比冷冰冰地“设 ，列方程”有“人情味”，有美学价值，这是极为重要的。因此过早地在小学引入方程，效果可能是西望长安不见家(佳)，反倒容易使思维简单化，甚至僵化，而且要引入方程，就不能不讲方程的解法，从而需要了解方程的性质，式的变形，更要引入负数的概念，容易破坏系统性，自乱章法。
3.2 平面几何的地位与所占比重
平面几何原来在中学数学占有相当大的比重，它的地位是历史上形成的。几何学有很完整的公理体系，又有优美的图形，推理较有规律可以遵循，对培养学生的思维能力是有好处的。完全取消几何，“打倒欧几里得”当然不对，但随着历史的发展，几何学已经不能在中小学独占一大块地盘。应当减少几何的课时，已经成为共识。但怎样缩减方法为合理?用什么来代替几何?
文革前，初中几何主要讲全等形与平行线，高一讲相似形与比例线段，当时不升高中的人，虽然少学了一些几何内容，但已经基本上掌握了几何的推理方法。因此，可以采取类似的做法，即对几何内容采用两种要求，一部分内容，如三角形全等，需要学生很好掌握，能解决有关的习题，包括较难的习题：其余内容，则只需了解，不花或少花功夫去做题。了解的内容不应太少。现在连"傍心"是什么，学生都不知道，这是不恰当的。傍心这一名称介绍给学生并不增加负担，反而可以体现几何学的优美。再如三角形的内角平分线的性质也应当介绍，不应删去。
几何课时减少后，用什么来代替几何培养学生的推理能力呢?首先，应当指出代数、三角或者算术，都有培养推理能力的作用，并不比几何逊色，需要进一步开发。其次，可以考虑增加其它内容。六十年代莫绍揆先生曾提议用数理逻辑来代替几何，这是一种好想法，或许更可行的是用组合数学来代替几何，因为组合数学的很多内容有趣味，易为学生接受，而且灵活多变化，对培养思维能力极为有益，比如“抽屉原理”，在小学低年级就可以引入。像“三只袜子，两种颜色，其中必有两只同色”，小朋友都能理解。还可以采用“圆周式”的讲授，在小学、初中、高中都有抽屉原理，但内容逐步加深，再如“奇偶分析”，“图论初步”，不但有趣，而且也很有用(无论在实用，还是在思维方面)。
3.3 “函数为纲”与离散数学
函数为纲，是一个不很明确的口号，在众多的数学内容中，突出函数既无必要，也没有太好的借口。相反地，随着计算机等的发展。离散数学的内容反倒应当增加，国外已有人认为大学(尤其一年级)I没有必要非学微积分，或许大学一年级学离散数学更合适一些。中小学也应引入这方面的内容，包括上面所说的组合数学，初等数论等等。初等数论(算术)讲数的性质，可以结合代数进行，如
这个简单的代数式，初中学生人人知道，然而将它理解为“每一个奇数可以表示成平方差”的恐怕寥寥无几。再如
即表明勾股数有无穷多组。这些，都可以提高学生的兴趣与思维能力。
3.4 引入新内容要考虑能否提高学生思维能力
有人主张增加一些统计、建模等等内容，并以美国小学生调查冰激凌的口味，测定自己脉搏等等为例，我们看不出这些做法对培养思维能力有什么好处。有些内容仅仅是罗列一些名词与公式(法则)，不如统统去掉以节省课时。因为思维能力是要花很多时间、花大力气去培养的，而那些套公式的事，待用到时再学也为时不晚。
我们并不反对让学生动手，但动手能力主要依靠理化生物等实验科学来培养，而数学应侧重培养“动脑”，培养智慧。
“磨刀不误砍柴工”。数学能使人变得聪明，就好像磨刀，使刀变得锐利，学知识就好像砍柴，刀磨好了，砍柴不难。
再如微积分，有人主张不用极限理论，我们觉得取消了极限理论，等于取消了微积分的核心，剩下部分味同鸡肋，对思维的培养没有多大意思。讲微积分就应当讲极限思想，只不过应当采用学生易于接受的方式，不一定非用 语言。比如可以先讲无穷小量的求和(一个典型的例题是抛物线 、 轴、直线 所围的面积，从中引出 ,,, 在 无限增加时，极限分别为 0，0，0，1)。先讲积分再讲微分，也就是一种可以考虑的方案。
不一定追求形式上的新，原有的内容也可以用新的观点去考察，特别应当进一步挖掘它们在培养思维方面的作用，比如前面所说的和差问题，可以结合计算机，采用尝试法，编好程序，经过几次尝试，调整得出结果。
本文选自：好玩的数学
近十年全国数学Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ卷(文理)高考专题分析(共485页)(文末附word下载方式)
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